“对任意给定的ε∈（0，1），总存在正整数N，当n≥N时，恒有

先给出结论“对任意给定的ɛ∈（0，1），总存在正整数N，当n≥N时，恒有|xn-a|≤2ɛ”是“数列{xn}收敛于a”的充分必要条件；下面给出证明过程．充分性证明：已知对任意给定的ɛ∈（0，1），总存在正整数N，当n≥N时，恒有|xn-a|≤2ɛ，则对任意0＜ɛ1＜1，取ɛ＝13ɛ1＞0，存在正整数N，当n≥N时，恒有|xn−a|≤2ɛ＜23ɛ1＜ɛ1，令N1=N-1，则满足对任意ɛ1＞0，总存在正整数N1，当n≥N1时，恒有|xn-a|＜ɛ1即数列{xn}收敛于a必要性证明：已知数列{xn}收敛于a，等价于：对任意ɛ1＞0，总存在正整数N1，当n≥N1时，恒有|xn-a|＜ɛ1显然通过放缩：就能得证对任意给定的ɛ∈（0，1），总存在正整数N，当n≥N时，恒有|xn-a|≤2ɛ故选：C

点评：本题考点： 收敛数列的存在的判别和证明．

考点点评： 本题主要考查数列极限的定义以及相关证明．在对两个命题判断充分性和必要性时，要从两个方向分别证明；这类证明题很多时候会用到反证法．